Numerické metody

Zápočtové úlohy

Pro řešení byl použit Maple 5

1. Aproximace funkce zadané analyticky.

   Úloha 102:
   
   Funkci f aproximujte jen s pomocí tabulky hodnot a čtyř základních
   aritmetických operací (eventuálně umocňování s celočíselným
   exponentem) tak, abyste dosáhli relativní chybu nejvýše epsilon na
   intervalu nejméně (a,b), kde
   
   f := sinh; 
   a := -100; 
   b := 100;
   epsilon := 10^(-6);
   

   [Řešení]

2. Aproximace funkce zadané tabulkou.

   Najdete "rozumnou" aproximaci nasledujicich dat:
   Uloha 205: Amplitudova charakteristika horni propusti [Hz,-]:
   
   x:=evalf([20, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000]);
   y:=evalf([0.005, 0.02, 0.09, 0.3, 0.8, 0.95, 1, 1]);
   
   Pomoci teto aproximace odhadnete:
   diferencialni utlum (tj. derivaci) [dB/dekadu] pri frekvencich 200 a 400 Hz
   

   [Řešení]

3. Numerická integrace.

   Uloha 307:
   Vytvorte program, ktery pro libovolne  t  z intervalu  <a, b>
   a := 0;  b := 1;
   vypocita pomoci nektere ze zde probiranych metod hodnotu
   
   dano:=Int(x^300*exp(-x), x=a..t);
   
   s absolutni chybou nejvyse
   
   epsilon := 1e-7;
   
   Objasnete pouzity postup a zduvodnete dosazenou presnost.
   Funkci programu demonstrujte graficky nebo tabulkou (v zavislosti na t).
   

   [Řešení]

4. Numerické řešení diferenciálních rovnic.

   Úloha 404:
   Numericky vyřešte diferenciální rovnici  y(x) = f(x,y(x))                   
   s počáteční podmínkou  y(x0) = y0  na intervalu  [x0,xk]                    
   s přesností alespoň  epsilon .                                              
   Najděte (přibližně) přiměřený počet kroků pro dosažení dané přesnosti.      
   Zdůvodněte dosaženou přesnost a předveďte použití Richardsonovy extrapolace.
   
   f := (x,y) -> 8*exp(-x^2) - y;
   x0:=0;
   y0:=1.;
   xk:=4.;
   epsilon:=1e-5;
   
   

   [Řešení]

5. Určování kořenů funkcí.

   Uloha 503:
   Urcete vsechny koreny funkce
   f := x -> x^2 - 1e-13*exp(0.01*x) + exp(-x) - 2;
   s chybou nejvyse
   epsilon := 1e-10;
   Zduvodnete dosazenou presnost.

   [Řešení]