1.  Zjednoduste

funkce = Sqrt[x*y*Abs[z]^2]/(Sqrt[x] Abs[z])

((Sqrt[x y])/(Sqrt[x]))
Simplify[funkce]
Simplify[funkce,  x ≥ 0]

2.  Zjednoduste

Clear[z]
funkce2 = Log[Exp[z]]
Simplify[funkce2,  z ∈ Complexes]
Simplify[funkce2,  z ∈ Reals]
Simplify[funkce2,  zϵComplexes, 
      z = 10*I]

3.  Zjednoduste

Clear[z]
funkce3 := Sqrt[z] - (z^3)^(1/6)
Simplify[funkce3,  z ∈ Complexes]
Simplify[funkce3,  z ∈ Reals]
Simplify[funkce3 .  z > 0]
z := 999983
funkce3

4.  Vyreste rovnice,  
    respektive .  
        nerovnice v oboru realnych cisel a vysledek overte graficky

Clear[x]
fa := Abs[x^2 - 5*x + 4]
rovnice1 := fa > 1
Solve[rovnice1, x]
<< Algebra`InequalitySolve`
InequalitySolve[rovnice1, x]
Plot[{fa, 1}, {x, -1, 6}]

rovnice2 := Sin[x] == Tan[x]
Solve[rovnice2, x]
Plot[{Sin[x], Tan[x]}, {x, 0, 2*Pi}, 
      PlotRange -> {-2, 2}]

Clear[x]
fc := (x^2 - 1)*
        Ln[x]*(Sin[x])^3*(Cos[x])^2
rovnice3 := fc == 0
Solve[rovnice3, x]
Plot[fc, {x,  1,  2}]

Clear[x]

    fd := Sqrt[x + 8 - 6*Sqrt[x - 1]] + 
        Sqrt[x + 3 - 4*Sqrt[x - 1]]

    rovnice4 := fd == 1

    Solve[rovnice4, x]

    Simplify[rovnice4]

    Plot[fd, {x, 0, 20},  PlotRange -> {0, 10}]

6.  Vypoctete pomoci PAS i rucne,  
    porovnejte vysledky a vysvetlete pripadny rozdil

Clear[x]

    ga := 28  x*(x^2 + 24)^24

    ga

    Integrate[ga, x]

    FullSimplify[%]

    ga /. x^2 + 1 -> t

    ga

    Integrate[ga, t] /. t -> x^2 + 1

7.  Vypoctete

Clear[x]
gb := 1/x^(1/3)
Integrate[gb, {x, -1, 1}]
Simplify[%]

8.  V laplaceove transformaci najdete obraz ke

u := Cos[omega*t + phi]
LaplaceTransform[u, t, p]

obraz := (a*p + b)/(p^2 + p + 1)
InverseLaplaceTransform[obraz, t, p]
Simplify[%]

9.  Definujte mnoziny
a .   M ...  mnozina vsech prirozenych cisel tvaru 5*k + 
      1,  k = 1,  ... , 30
b .  
          P ...  mnozina vsech prvocisle mensich nez 100

M = Table[5*k + 1,   {k, 1, 30}]
P = Table[Prime[k],  {k,  1,  25}]
Intersection[M, P]

10.  Zjednoduste logicke vyrazy

{a, b, c, d} ∈ 
      Booleans

    vyraz1 := a || ! a

    vyraz2 := a || b || (a && b)


    vyraz3 := (! Equal[a, c]) || (b && c && d) || (a && 
            c && (Nand[b, d]))

    vyraz1

    LogicalExpand[vyraz1]

    vyraz2

    LogicalExpand[vyraz2]

    vyraz3

    LogicalExpand[vyraz3]

    Simlify[%]